Question

【題目】已知是橢圓：（）與拋物線:的一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓與拋物線具有一個(gè)相同的焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓及拋物線的方程；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)且互相垂直的兩動(dòng)直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）橢圓的方程為，拋物線的方程為；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)是橢圓：（）與拋物線:的一個(gè)公共點(diǎn)，可求得，從而可得相同的焦點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合，即可求得與，從而可得橢圓及拋物線的方程；（Ⅱ）由題可知直線斜率存在，設(shè)直線的方程，，當(dāng)時(shí)，求出，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得及，表示出，通過(guò)換元及二次函數(shù)思想即可求得四邊形面積的最小值.

（Ⅰ）拋物線：一點(diǎn)

，即拋物線的方程為，

又在橢圓：上

，結(jié)合知（負(fù)舍）， ，

橢圓的方程為，拋物線的方程為.

（Ⅱ）由題可知直線斜率存在，設(shè)直線的方程，

①當(dāng)時(shí)，，直線的方程，，故

②當(dāng)時(shí)，直線的方程為，由得.

由弦長(zhǎng)公式知 .

同理可得.

.

令，則，當(dāng)時(shí)，，

綜上所述：四邊形面積的最小值為8.