Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為，橢圓上動點(diǎn)到一個焦點(diǎn)的距離的最小值為．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知過點(diǎn)的動直線l與橢圓C交于 A，B 兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T，且定點(diǎn)T的坐標(biāo)為．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為，橢圓上動點(diǎn)到一個焦點(diǎn)的距離的最小值為，結(jié)合 ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、即可得結(jié)果；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線 的方程為與橢圓交于,則整理得，根據(jù)韋達(dá)定理及平面向量數(shù)量積公式可將表示為的函數(shù)，消去可得，從而可得，存在以為直徑的圓恒過定點(diǎn) ，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

試題解析：（1）由題意，故， 又橢圓上動點(diǎn)到一個焦點(diǎn)的距離的最小值為，所以，解得，，所以， 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）當(dāng)直線l的斜率為0時，令，則，此時以AB為直徑的圓的方程為．

當(dāng)直線l的斜率不存在時，以AB為直徑的圓的方程為， 聯(lián)立解得，即兩圓過點(diǎn)．

猜想以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)．

對一般情況證明如下：

設(shè)過點(diǎn)的直線l的方程為與橢圓C交于,

則整理得，

所以．

因為

，

所以．

所以存在以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T，且定點(diǎn)T的坐標(biāo)為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及曲線過定點(diǎn)問題，屬于難題.解決曲線過定點(diǎn)問題一般有兩種方法：① 探索曲線過定點(diǎn)時，可設(shè)出曲線方程 ，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于曲線系的思想找出定點(diǎn)，或者利用方程恒成立列方程組求出定點(diǎn)坐標(biāo).② 從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān).