Question

已知直線（t為參數(shù)），與橢圓x²+4y²=16交于A、B兩點．
（1）若A，B的中點為P（2，1），求|AB|；
（2）若P（2，1）是弦AB的一個三等分點，求直線l的直角坐標方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及弦AB的中點坐標為P（2，1），求出斜率，即可求得直線AB的方程．
（2）根據(jù)P（2，1）是弦AB的一個三等分點，得到|AP|=|PB|，從而得出|t₁|=2|t₂|，⇒t₁=-2t₂，再利用（1）中得到的方程結(jié)合韋達定理解得a的值，從而得出直線l的直角坐標方程．
解答：解：（1）直線代入橢圓方程，
整理得（4a²+1）t²-4（2a-1）t-8=0
設A、B對應的參數(shù)分別為t₁、t₂，則t₁+t₂=，t₁t₂=，
∵A，B的中點為P（2，1），∴t₁+t₂=0
解之得a=，∴t₁t₂=-4，∵|AP|==|t₁|，|BP|=|t₂|，
∴|AB|=（|t₁|+|t₁|）=×=2，
（2）P（2，1）是弦AB的一個三等分點，∴|AP|=|PB|，
∴|t₁|=2|t₂|，⇒t₁=-2t₂，
∴t₁+t₂=-t₂=，t₁t₂=-2t=，
∴t=，∴=，解得a=，
∴直線l的直角坐標方程y-1=（x-2）．
點評：本題考查直線與橢圓的綜合，考查弦中點問題，解題的關(guān)鍵是直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理求解．