Question

(本小題8分)已知函數(shù)，，其中．

（1） 設(shè)函數(shù)．若在（0，3）上有零點，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)是否存在，對任意給定的非零實數(shù)，存在惟一的非零實數(shù)（），使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(本小題8分)

解：（1）因在（0，3）上有且只有一個零點，所以在上有實數(shù)解，且無重根，由得    

，令有，記則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有，于是，得，而當(dāng)時有在上有兩個相等的實根，故舍去，所以；   

（2）當(dāng)時有；

當(dāng)時有，因為當(dāng)時不合題意，因此，

下面討論的情形，記A，B=（�。┊�(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以要使成立，只能且，因此有；（ⅱ）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以要使成立，只能且，因此，綜合（�。�（ⅱ）；

當(dāng)時A=B，則對于所有的，即存在使得成立，因為在上單調(diào)遞增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零實數(shù)，要使成立，所以滿足題意