Question

(本小題8分)已知函數(shù)，，其中．

（1） 設(shè)函數(shù)．若在（0，3）上有零點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)是否存在，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在惟一的非零實(shí)數(shù)（），使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(本小題8分)

解：（1）因在（0，3）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上有實(shí)數(shù)解，且無(wú)重根，由得    

，令有，記則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有，于是，得，而當(dāng)時(shí)有在上有兩個(gè)相等的實(shí)根，故舍去，所以；   

（2）當(dāng)時(shí)有；

當(dāng)時(shí)有，因?yàn)楫?dāng)時(shí)不合題意，因此，

下面討論的情形，記A，B=（ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以要使成立，只能且，因此有；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以要使成立，只能且，因此，綜合（�。áⅲ�；

當(dāng)時(shí)A=B，則對(duì)于所有的，即存在使得成立，因?yàn)?img width=36 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/406/21906.gif" >在上單調(diào)遞增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零實(shí)數(shù)，要使成立，所以滿足題意