Question

（本小題滿分14分）

已知向量，其中，，把其中所滿足的關系式記為，且函數為奇函數．

（1）求函數的表達式；

（2）已知數列的各項都是正數，為數列的前項和，且對于任意，都有“數列的前項和”等于，求數列的首項和通項公式；

（3）若數列滿足，求數列的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據向量平行得出函數，再利用函數為奇函數，可求c=1，從而可得函數的表達式；

（Ⅱ）根據條件對于任意，都有的前n項和等于，寫出兩等式，兩式相減可得為公差為1的等差數列，從而可求數列的通項公式；

（Ⅲ）根據，可得，由于，故需對進行分類討論．

試題解析：（Ⅰ）∵，∴ ，

因為函數f（x）為奇函數．所以c=1，故

（Ⅱ）由題意可知，…．．①

n≥2時，…②

由①﹣②可得：，

∵為正數數列，∴…③，∴…④

由④﹣③可得：，

且由①可得

∴為公差為1的等差數列，∴；

（Ⅲ），

令，∴

（1）當時，數列的最小值為當n=1時，．

（2）當a＞2時

①若時，數列的最小值為當n=k+1時，．

②若 時，數列的最小值為當n=k或n=k+1時，．

③若 時，數列的最小值為當n=k時，

④若時，數列{bn}的最小值為，當n=k+1時，．

考點：向量共線定理；數列通項公式；函數的最值問題；數列與向量的綜合；分類討論思想．