8.已知f(x)=lnx+$\frac{a}{x}$.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若對任意x>0,均有x(2lna-lnx)≤a恒成立,求正數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;
(2)問題轉(zhuǎn)化為2lna≤lna+1,求出a的范圍即可.

解答 解:(1)f(x)=lnx+$\frac{a}{x}$,(x>0),
f′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$,(x>0),
當a≤0時,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上遞增;無極值;
當a>0時,0<x<a時,f′(x)<0,f(x)在(0,a)上遞減,
x>a時,f′(x)>0,f(x)在(a,+∞)上遞增,
f(x)極小值=f(a)=lna+1;
(2)若對任意x>0,均有x(2lna-lnx)≤a恒成立,
即對任意x>0,均有2lna≤lnx+$\frac{a}{x}$恒成立,
由(1)得:f(x)的最小值是lna+1,
故問題轉(zhuǎn)化為:2lna≤lna+1,即lna≤1,
故0<a≤$\frac{1}{e}$.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,考查轉(zhuǎn)化思想,是一道中檔題.

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C.(4k-$\frac{2}{3}$,4k+$\frac{4}{3}$),k∈ZD.(4kπ-$\frac{2}{3}$π,4kπ+$\frac{4}{3}$π),k∈Z

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