Question

（2009•盧灣區(qū)二模）袋中有8個(gè)顏色不同，其它都相同的球，其中1個(gè)為黑球，3個(gè)為白球，4個(gè)為紅球．
（1）若從袋中一次摸出2個(gè)球，求所摸出的2個(gè)球恰為異色球的概率；
（2）若從袋中一次摸出3個(gè)球，且所摸得的3球中，黑球與白球的個(gè)數(shù)都沒(méi)有超過(guò)紅球的個(gè)數(shù)，記此時(shí)得到紅球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的概率分布律，并求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ和方差Dξ．

Answer 1

分析：（1）摸出的2個(gè)球?yàn)楫惿�球的不同摸法種數(shù)為C₇¹+C₃¹C₄¹=19種，從8個(gè)球中摸出2個(gè)球的不同摸法種數(shù)為C₈²=28，由此能得到所求概率．
（2）符合條件的摸法包括以下三種：一種是所摸得的3球中有1個(gè)紅球，1個(gè)黑球，1個(gè)白球，共有C₄¹C₃¹=12種不同摸法，一種是所摸得的3球中有2個(gè)紅球，1個(gè)其它顏色球，共有C₄²C₄¹=24種不同摸法，一種是所摸得的3球均為紅球，共有C₄³=4種不同摸法，故符合條件的不同摸法共有40種．由題意隨機(jī)變量ξ的取值可以為1，2，3．由此求出隨機(jī)變量ξ的概率分布列和ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ及方差Dξ．

解答：解：（1）摸出的2個(gè)球?yàn)楫惿�球的不同摸法種數(shù)為C₇¹+C₃¹C₄¹=19種，從8個(gè)球中摸出2個(gè)球的不同摸法種數(shù)為C₈²=28，故所求概率為

19

28

；    （6分）
（2）符合條件的摸法包括以下三種：一種是所摸得的3球中有1個(gè)紅球，1個(gè)黑球，1個(gè)白球，共有C₄¹C₃¹=12種不同摸法，一種是所摸得的3球中有2個(gè)紅球，1個(gè)其它顏色球，共有C₄²C₄¹=24種不同摸法，一種是所摸得的3球均為紅球，共有C₄³=4種不同摸法，故符合條件的不同摸法共有40種．
由題意隨機(jī)變量ξ的取值可以為1，2，3．得隨機(jī)變量ξ的概率分布律為：（12分）

x	1	2	3
P（ξ=x）	3 10	3 5	1 10

Eξ=1×

3

10

+2×

3

5

+3×

1

10

=

9

5

，（13分）Dξ=(1-

9

5

)2×

3

10

+(2-

9

5

)2×

3

5

+(3-

9

5

)2×

1

10

=

9

25

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率的計(jì)算．