Question

3．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=6+\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），曲線C₂：$\frac{x^2}{10}+{y^2}=1$．
（1）寫出曲線C₁的普通方程，曲線C₂的參數(shù)方程；
（2）在曲線C₁，C₂上分別取點(diǎn)P，Q，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓的參數(shù)方程求出圓心坐標(biāo)及半徑，可得曲線C₁的普通方程，
根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸長(zhǎng)，可得曲線C₂的參數(shù)方程；
2）曲線C₂上任意一點(diǎn)$Q（\sqrt{10}cosφ，sinφ）$到到圓心O（0，6）的距離$d=\sqrt{{{（\sqrt{10}cosφ-0）}^2}+{{（sinφ-6）}^2}}$，根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得|PQ|的最大值．

解答 解：（1）∵曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=6+\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），
∴曲線C₁表示以（0，6）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓，
故C₁的普通方程為：x²+（y-6）²=2，
由曲線C₂：$\frac{x^2}{10}+{y^2}=1$表示焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸為$\sqrt{10}$，短半軸為1的橢圓，
故C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{10}cosφ\(chéng)\ y=sinφ\(chéng)end{array}\right.$，（φ為參數(shù)）                   …（4分）
（2）曲線C₂上任意一點(diǎn)$Q（\sqrt{10}cosφ，sinφ）$到到圓心O（0，6）的距離$d=\sqrt{{{（\sqrt{10}cosφ-0）}^2}+{{（sinφ-6）}^2}}$…（6分）
=$\sqrt{-9{{sin}^2}φ-12sinφ+46}=\sqrt{-9{{（sinφ+\frac{2}{3}）}^2}+50}≤5\sqrt{2}$…（8分）
當(dāng)$sinφ=-\frac{2}{3}$時(shí)，d取最大值$5\sqrt{2}$，
此時(shí)$|PQ{|_{max}}=5\sqrt{2}+\sqrt{2}=6\sqrt{2}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，參數(shù)方程與普通方程的互化，難度中檔．