Question

求滿足下列條件的圓的方程
（1）求過點M（5，2），N（3，2）且圓心在直線y=2x-3上的圓的方程；
（2）過圓x²+y²-x+y-2=0和x²+y²=5的交點，且圓心在直線3x+4y-1=0上的圓的方程為．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（1）根據垂徑定理可知圓心在線段MN的垂直平分線上，所以利用M與N的坐標求出垂直平分線的方程與已知直線y=2x-3聯立即可求出圓心坐標，然后利用兩點間的距離公式求出圓心到M的距離即可求出半徑，然后根據圓心和半徑寫出圓的方程．
（2）根據題意可設所求圓的方程為x²+y²-x+y-2+λ（x²+y²-5）=0（λ≠-1），再求出圓心坐標為 （

1

2(1+λ)

，-

1

2(1+λ)

），圓心在直線3x+4y-1=0上，所以將圓心的坐標代入中心方程可得λ的值，進而求出圓的方程．

解答： 解：（1）設圓心為（x，y），而圓心在線段MN的垂直平分線x=4上又圓心在直線y=2x-3上，
所以聯立得

x=4 y=2x-3

，解得圓心為（4，5），r=

(5-4)2+(2-5)2

，
∴要求的圓的方程為（x-4）²+（y-5）²=10．
（2）設所求圓的方程為x²+y²-x+y-2+λ（x²+y²-5）=0（λ≠-1），
即整理可得，x²+y²-

1

1+λ

x+

1

1+λ

y-

2+5λ

1+λ

，
所以可知圓心坐標為（

1

2(1+λ)

，-

1

2(1+λ)

）．
因為圓心在直線3x+4y-1=0上，所以可得3×

1

2(1+λ)

-4×[-

1

2(1+λ)

]-1=0，解得λ=-

3

2

．
將λ=-

3

2

 代入所設方程并化簡可得所求圓的方程為：x²+y²+2x-2y-11=0．

點評：本題主要考查學生會求兩條直線的交點坐標，會利用兩點間的距離公式求線段的長，會根據圓心與半徑寫出圓的方程；還考查了圓與圓的位置關系，以及利用“圓系”方程的方法求圓的方程，屬于基礎題．