Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=4-a_n-

1

2n-2

，求a_n的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：函數(shù)的性質及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由條件求得 a₁=1，S_n+1=4-a_n+1-

1

2n-1

②，和已知等式相減、化簡可得 a_n+1+

1

2n-1

=

1

2

[a_n+

1

2n-2

]，故有a_n+

1

2n-2

=3×(

1

2

)n-1，由此求得a_n的通項公式．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=4-a_n-

1

2n-2

  ①，∴a₁=4-a₁-2，∴a₁=1，
又 S_n+1=4-a_n+1-

1

2n-1

  ②，
②-①可得a_n+1=a_n-a_n+1+

1

2n-1

，化簡可得 a_n+1+

1

2n-1

=

1

2

[a_n+

1

2n-2

]，
∴{a_n+

1

2n-2

}是以3為首項、

1

2

為公比的等比數(shù)列，∴a_n+

1

2n-2

=3×(

1

2

)n-1，∴a_n=3×(

1

2

)n-1-(

1

2

)n-2=

1

2n-1

．

點評：本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性，根據(jù)數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式，屬于基礎題．