Question

18．如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，$AB=\sqrt{3}$，BC=2，AC=1．
（1）求證：AB⊥AD；
（2）設(shè)E是BD的中點(diǎn)，若直線CE與平面ACD的夾角為30^°，求四面體ABCD外接球的表面積．

Answer 1

分析 （1）證明DC⊥BC，AB⊥CD，推出AB⊥AC，然后證明AB⊥平面ADC，得到AB⊥AD．
（2）取AD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥BA，證明EF⊥平面ADC，連接FC，說明∠ECF=30°，求出以四面體ABCD的外接球的半徑然后求解即可．

解答 解：（1）證明：由平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，得DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD…（2分）
又由$AB=\sqrt{3}$，BC=2，AC=1，得BC²=AB²+AC²，所以AB⊥AC…（4分）
故AB⊥平面ADC，所以AB⊥AD…（6分）
（2）取AD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥BA，
因?yàn)锳B⊥平面ADC∴EF⊥平面ADC…（8分）
連接FC，則∠ECF=30°，∴$CE=2EF=AB=\sqrt{3}$…（9分）
又∠BAD=∠BCD=90°，
所以四面體ABCD的外接球的半徑$R=CE=\sqrt{3}$…（11分）
故四面體ABCD的外接球的表面積=$4π{（\sqrt{3}）^2}=12π$…（12分）
（向量解法酌情給分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的外接球的表面積的求法，直線與平面所成角的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．