Question

12．在平行四邊形ABCD中，已知AB=2，AC=$\sqrt{7}$，AD=1．若點P，Q滿足$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{BD}$=4$\overrightarrow{PQ}$，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的值為$\frac{19}{36}$．

Answer 1

分析 可畫出圖形，在△ABC中由余弦定理便可求出$cos∠ABC=-\frac{1}{2}$，進而得出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=-1$，而根據條件可得出$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}），\overrightarrow{AQ}=\frac{7}{12}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{12}\overrightarrow{BA}$，從而進行向量數量積的運算便可求出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$的值．

解答 解：如圖，在△ABC中，AB=2，BC=1，AC=$\sqrt{7}$，由余弦定理得：$cos∠ABC=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}=\frac{4+1-7}{4}=-\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=-1$；
根據條件，$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$；
$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}$
=$\overrightarrow{AP}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}$
=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）+\frac{1}{4}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}）$
=$\frac{7}{12}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{12}\overrightarrow{BA}$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$
=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）•（\frac{7}{12}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{12}\overrightarrow{BA}）$
=$\frac{7}{36}{\overrightarrow{BC}}^{2}-\frac{2}{9}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}+\frac{1}{36}{\overrightarrow{BA}}^{2}$
=$\frac{7}{36}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}$
=$\frac{19}{36}$．
故答案為：$\frac{19}{36}$．

點評 考查向量加法、減法的幾何意義，以及向量的數乘運算，向量數量積的運算及計算公式，以及余弦定理．