Question

【題目】如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．

（Ⅰ）證明：平面A1BD∥平面CD1B1；

（Ⅱ）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）1

【解析】試題分析：（1）要證明⊥平面，只要證明垂直于平面內的兩條相交直線即可，由已知可證出⊥BD，取的中點為，通過證明四邊形為正方形可證⊥．由線面垂直的判定定理問題得證；（2）由已知是三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由此能求出三棱柱ABD﹣A1B1D1的體積

試題解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=，由棱柱的性質可得BB1和DD1平行且相等，故四邊形BB1D1D為平行四邊形，故有BD和B1D1平行且相等．而BD不在平面CB1D1內，而B1D1在平面CB1D1內，∴BD∥平面CB1D1．同理可證，A1BCD1為平行四邊形，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD內的兩條相交直線，故有平面A1BD∥平面CD1B1 ．

（Ⅱ）由題意可得A1O為三棱柱ABD﹣A1B1D1的高．三角形A1AO中，由勾股定理可得A1O===1，

∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的體積V=S△ABDA1O=A1O=×1=1．