Question

函數f（x）=-sin²x+sinx+1，x∈[0，

5

4

π]的值域為

 

．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：先根據x的范圍確定sinx的范圍，利用換元法把函數轉化成關于t的一元二次函數，根據函數的單調性確定函數的最大值和最小值．

解答： 解：∵x∈[0，

5π

4

]，
∴sinx∈[-

2

2

，1]，
設sinx=t，則t∈[-

2

2

，1]，
y=-t²+t-1，對稱軸為t=

1

2

，開口向下，在區(qū)間[-

2

2

，

1

2

]上單調增，
在[

1

2

，1]上單調減，
∴y_max=f（

1

2

）=-

1

4

+

1

2

-1=-

3

4

，
y_min=f（-

2

2

）=-

1

2

-

2

2

-1=-

3+ 2

2

，
∴函數的值域為：[-

3+ 2

2

，-

3

4

]，
故答案為：[-

3+ 2

2

，-

3

4

]

點評：本題主要考查了二次函數的性質，三角函數求最值．解題的關鍵時利用換元法，利用二次函數的性質來解決．