Question

18．設f（x）是R上的奇函數，且當x∈（0，+∞）時，f（x）=x（1+x³）-1，求f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析 根據函數f（x）是R上的奇函數，則有f（0）=0，f（-x）=-f（x），當x∈（0，+∞）時，f（x）=x（1+x³）-1，可求x∈（-∞，0）時的解析式．

解答 解：由題意，函數f（x）是R上的奇函數，則有f（0）=0，f（-x）=-f（x），
當x＞0時，f（x）=x（1+x³）-1，
那么：x＜0時，則-x＞0，有f（-x）=-x（1-x³）-1，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）=x（1-x³）+1，
故得f（x）在R上的解析式為$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x（1+{x^3}）-1}\\ 0\\{x（1-{x^3}）+1}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{，x＞0}\\{x=0}\\{，x＜0}\end{array}$．

點評 本題考查了分段函數的解析式的求法，利用了函數是奇函數這性質．