【題目】已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，證明直線過定點(diǎn).

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)離心率得到之間的關(guān)系，把點(diǎn)代入橢圓方程即可求解；

（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行證明：當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線：與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，則，利用韋達(dá)定理進(jìn)行證明即可；當(dāng)垂直于軸時(shí)，即軸，過.

（1）由題意，，∴，

所以橢圓的方程為，

把點(diǎn)代入橢圓的方程可得，

∴所求橢圓的方程為.

（2）證明：當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線：

聯(lián)立方程，可得，

由可得，，

設(shè)，，則，，

由韋達(dá)定理可得，，

∴直線的方程為：，

令，

。

∴直線過定點(diǎn)，

當(dāng)垂直于軸時(shí)，即軸，過.

綜上可知，直線過定點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求證：當(dāng)x∈(0,π]時(shí)，f(x)<1；

（2）求證：當(dāng)m＞2時(shí)，對任意x0∈(0,π] ，存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】正三棱錐，為中點(diǎn)，，，過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積范圍為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意的兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，且存在兩個(gè)不相等的自變量值，，使得，就稱為定義域上的“不嚴(yán)格的增函數(shù)”.下列所給的四個(gè)函數(shù)中為“不嚴(yán)格增函數(shù)”的是（ ）

A.；B.；

C.；D..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）過點(diǎn)存在幾條直線與曲線相切，并說明理由；

（3）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求的值：

（Ⅱ）若函數(shù)是內(nèi)的減函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若方程無實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖：三棱柱的所有棱長均相等，，為的中點(diǎn).

(1)求證：平面⊥平面；

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓規(guī)是畫橢圓的一種工具，如圖1所示，在十字形滑槽上各有一個(gè)活動(dòng)滑標(biāo)，，有一根旋桿將兩個(gè)滑標(biāo)連成一體，，為旋桿上的一點(diǎn)，且在，兩點(diǎn)之間，且，當(dāng)滑標(biāo)在滑槽內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，滑標(biāo)在滑槽內(nèi)隨之運(yùn)動(dòng)時(shí)，將筆尖放置于處可畫出橢圓，記該橢圓為.如圖2所示，設(shè)與交于點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)，是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，求四邊形面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來，在世界各地逐漸蔓延.在全國人民的共同努力和各級部門的嚴(yán)格管控下，我國的疫情已經(jīng)得到了很好的控制.然而，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，每個(gè)國家在疫情發(fā)生的初期，由于認(rèn)識(shí)不足和措施不到位，感染人數(shù)都會(huì)出現(xiàn)快速的增長.下表是小王同學(xué)記錄的某國連續(xù)8天每日新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù).

日期代碼

1

2

3

4

5

6

7

8

累計(jì)確診人數(shù)

4

8

16

31

51

71

97

122

為了分析該國累計(jì)感染人數(shù)的變化趨勢，小王同學(xué)分別用兩種模型：①，②對變量和的關(guān)系進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，殘差圖如下（注：殘差）：經(jīng)過計(jì)算得，，，，其中，.

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個(gè)模型？并簡要說明理由；

（2）根據(jù)（1）問選定的模型求出相應(yīng)的回歸方程（系數(shù)均保留一位小數(shù)）；

（3）由于時(shí)差，該國截止第9天新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù)尚未公布.小王同學(xué)認(rèn)為，如果防疫形勢沒有得到明顯改善，在數(shù)據(jù)公布之前可以根據(jù)他在（2）問求出的回歸方程來對感染人數(shù)作出預(yù)測，那么估計(jì)該地區(qū)第9天新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù)是多少.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.

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