Question

如圖，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1AF⊥BF，O為AB的中點，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直．
（1）求證：AF⊥平面CBF；
（2）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；
（3）求三棱錐C-BEF的體積．

Answer 1

分析：（1）要證線與面垂直，需先證明直線AF垂直于平面內的兩條相交直線，因為矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，所以BC垂直于平面ABEF，從而AF垂直于BC，依題意，AF垂直于BF，從而命題得證
（2）取DF的中點為N，由三角形中位線定理，MN平行CD且等于CD的一半，而OA也是如此，從而MN平行且等于OA，四邊形MNAO為平行四邊形，所以OM平行于AN，由線面平行的判定定理即可得證OM平行于平面DAF
（3）先計算底面三角形BEF的面積，在等腰梯形ABEF中，可得此三角形的高為

3

2

，底EF為1，再計算三棱錐C-BEF的高，即為CB，最后由三棱錐體積計算公式計算即可

解答：解：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF，∵AF?平面ABEF，
∴CB⊥AF
又AF⊥BF，且BF∩BC=B，BF，BC?平面CBF，
∴AF⊥平面CBF
（2）設DF的中點為N，
∵FC的中點為M，
∴MN∥CD，MN=

1

2

CD
∵四邊形ABCD為矩形
∴AO∥CD，AO=

1

2

CD
∴MN∥OA，MN=OA
∴四邊形MNAO為平行四邊形，
∴OM∥AN
又AN?平面DAF，OM?平面ADF，
∴OM∥平面ADF
（3）∵AF=1，AF⊥BF，AB=2
∴∠FAB=60°
過點E作EH⊥AB于H，則∠EBH=60°，
∴EH=

3

2

，EF=AB-2HB=1，
故S△BEF=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

∵CB⊥平面ABEF
∴三棱錐C-BEF的高為CB=1
∴VC-BEF=

1

3

×S△BEF×BC=

1

3

×

3

4

× 1=

3

12

點評：本題考查了線面垂直的判定定理和性質定理的運用，線面平行的判定定理和性質定理的運用，椎體體積計算公式及其計算方法