【答案】
分析:(1)由題意先對函數(shù)y進行求導,解出極值點,然后再根據(jù)函數(shù)的定義域,把極值點代入已知函數(shù),比較函數(shù)值的大小,從而解出單調區(qū)間;
(2)構造函數(shù)h(x)=g(x)+
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,對其求導,求出h(x)的最小值大于0,就可以了.
(3)存在性問題,先假設存在,看是否能解出a值.
解答:解:(1)∵當a=1時,
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,∴
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,(1分)
∴當0<x<1時,f'(x)<0,此時f(x)單調遞減
當1<x<e時,f'(x)>0,此時f(x)單調遞增,(3分)
∴f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,1);單調遞增區(qū)間為(1,e);
f(x)的極小值為f(1)=1.(4分)
(2)由(1)知f(x)在(0,e]上的最小值為1,(5分)
令h(x)=g(x)+
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,x∈(0,e]∴
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,(6分)
當0<x<e時,h′(x)>0,h(x)在(0,e]上單調遞增,(7分)
∴
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,
∴在(1)的條件下,f(x)>g(x)+
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,(8分)
(3)假設存在實數(shù)a,使
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,(x∈(0,e])有最小值-1,
∴
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,(9分)
①當a≤0時,
∵0<x≤e,
∴f'(x)>0,
∴f(x)在(0,e]上單調遞增,此時f(x)無最小值.(10分)
②當0<a<e時,
若0<x<a,則f'(x)<0,故f(x)在(0,a)上單調遞減,
若a<x<e,則f'(x)>0,故f(x)在(a,e]上單調遞增.
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,,得
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,滿足條件.(12分)
3當a≥e4時,∵0<x<e,
∴f'(x)<0,
∴f(x)在(0,e]上單調遞減,
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(舍去),所以,此時無解.(13分)
綜上,存在實數(shù)
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,使得當x∈(0,e]時f(x)的最小值是-1.(14分)
(3)法二:假設存在實數(shù)a,使
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,x∈(0,e])的最小值是-1,
故原問題等價于:不等式
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,對x∈(0,e]恒成立,求“等號”取得時實數(shù)a的值.
即不等式a≥-x(1+lnx),對x∈(0,e]恒成立,求“等號”取得時實數(shù)a的值.
設g(x)=-x(1+lnx),即a=g(x)
max,x∈(0,e](10分)
又
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(11分)
令
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當
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,g'(x)>0,則g(x)在
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單調遞增;
當
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,g'(x)<0,則g(x)在
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單調遞減,(13分)
故當
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時,g(x)取得最大值,其值是
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故
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.
綜上,存在實數(shù)
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,使得當x∈(0,e]時f(x)的最小值是-1.(14分)
點評:此題是一道綜合題,主要還是考查導數(shù)的定義及利用導數(shù)來求區(qū)間函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值、解不等式等基礎知識,考查綜合分析和解決問題的能力,解題的關鍵是求導要精確.