已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為
,
為動(dòng)點(diǎn),若
.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡
方程;
(Ⅱ)若,設(shè)直線過(guò)點(diǎn)
,且與軌跡
交于
、
兩點(diǎn),直線
與
交于點(diǎn)
.試問(wèn):當(dāng)直線在變化時(shí),點(diǎn)
是否恒在一條定直線上?若是,請(qǐng)寫(xiě)出這條定直線方程,并證明你的結(jié)論;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解法一:
(Ⅰ)由題意知:,又∵
,∴動(dòng)點(diǎn)
必在以
為焦點(diǎn),
長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,∴,又∵
,
.
∴橢圓的方程為
.
(Ⅱ)由題意,可設(shè)直線為:.
① 取得
,直線
的方程是
直線的方程是
交點(diǎn)為
若,由對(duì)稱(chēng)性可知交點(diǎn)為
若點(diǎn)在同一條直線上,則直線只能為
.
②以下證明對(duì)于任意的直線
與直線
的交點(diǎn)
均在直線
上.
事實(shí)上,由,得
即
,
記,則
.
設(shè)與交于點(diǎn)
由
得
設(shè)與交于點(diǎn)
由
得
,
∴,即
與
重合,
這說(shuō)明,當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)
恒在定直線
上.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)取得
,直線
的方程是
直線
的方程是
交點(diǎn)為
取得
,直線
的方程是
直線
的方程是
交點(diǎn)為
∴若交點(diǎn)
在同一條直線上,則直線只能為
.
以下證明對(duì)于任意的直線
與直線
的交點(diǎn)
均在直線
上.
事實(shí)上,由,得
即
,
記,則
.
的方程是
的方程是
消去得
…………………………………… ①
以下用分析法證明時(shí),①式恒成立。
要證明①式恒成立,只需證明
即證即證
……………… ②
∵∴②式恒成立.
這說(shuō)明,當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)
恒在定直線
上.
解法三:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)由,得
即
.
記,則
.
的方程是
的方程是
由得
即
.
這說(shuō)明,當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)
恒在定直線
上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆浙江省高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為
,過(guò)
作
軸的垂線交雙曲線于
兩點(diǎn),若
內(nèi)切圓的半徑為
,則此雙曲線的離心率為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年河南省五市高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型:選擇題
已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線上,∠F1PF2的平分線分線段F1F2的比為5 :1,則雙曲線離心率的取值范圍是
A.(1,]
B.(1,
)
C.(2,
] D.(
,2]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011年云南省高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
(本題滿(mǎn)分12分)
已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為,
,直線
是雙曲線的一條準(zhǔn)線,
(Ⅰ)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)在雙曲線右支上,且
,求
的值。
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