Question

已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為，為動(dòng)點(diǎn)，若．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）若，設(shè)直線過點(diǎn)，且與軌跡交于、兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．試問：當(dāng)直線在變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條定直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）由題意知：，又∵，∴動(dòng)點(diǎn)必在以為焦點(diǎn)，

長軸長為4的橢圓，∴，又∵，．  

∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意，可設(shè)直線為：．

①     取得，直線的方程是

直線的方程是交點(diǎn)為    

若，由對稱性可知交點(diǎn)為

若點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為．

②以下證明對于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上．

事實(shí)上，由，得即，

記，則．

設(shè)與交于點(diǎn)由得

設(shè)與交于點(diǎn)由得

，           

∴，即與重合，

這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上．

解法二：

（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為

取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為∴若交點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為．

以下證明對于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上．

事實(shí)上，由，得即，

記，則．

的方程是的方程是

消去得……………………………………   ①

以下用分析法證明時(shí)，①式恒成立。

要證明①式恒成立，只需證明

即證即證………………  ②

∵∴②式恒成立．

這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上．

解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由，得即．

記，則．

的方程是的方程是   

由得

即

    ．

這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上．