Question

已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（Ⅰ）當a=1，b=0時，解不等式：f（x）≤0；
（Ⅱ）若b＜0，b為常數(shù)且對任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當a=1，b=0時，不等式即 x|x-1|≤0，由此求得不等式f（x）≤0的解集．
（Ⅱ）只需考慮x∈（0，1]的情況，此時，不等式即|x-a|＜

-b

x

，即 x+

b

x

＜a＜x-

b

x

，故(x+

b

x

)max＜a＜(x-

b

x

)min．分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求得(x+

b

x

)max和(x-

b

x

)min，從而求得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1，b=0時，不等式f（x）≤0，即 x|x-1|≤0，∴x≤0，或 x=1，
即不等式f（x）≤0的解集為[x|x≤0，或 x=1}．
（Ⅱ）當x=0時，不等式即 b＜0，顯然恒成立，故只需考慮x∈（0，1]的情況，
此時，不等式即|x-a|＜

-b

x

，即 x+

b

x

＜a＜x-

b

x

，故(x+

b

x

)max＜a＜(x-

b

x

)min．
由于函數(shù)g（x）=x+

b

x

在（0，1]上單調(diào)遞增，故(x+

b

x

)max=g（1）=1+b．
對于函數(shù)h（x）=x-

b

x

，x∈（0，1]，①當b＜-1時，h（x）=x-

b

x

 在（0，1]上單調(diào)遞減，
故h（x）的最小值(x-

b

x

)min=h（1）=1-b，
故此時，a的范圍為（1+b，1-b）．
當-1≤b＜0時，h（x）=x-

b

x

≥2

-b

，當且僅當x=

-b

時，h（x）的最小值(x-

b

x

)min=2

-b

．
此時，要使a存在，必須有

-1≤b＜0 1+b＜2 -b

，即-1≤b＜2

2

-3，此時a的取值范圍是(1+b，2

-b

)．
綜上，當b＜-1時，a的取值范圍是（1+b，1-b）；當-1≤b＜2

2

-3時，a的取值范圍是(1+b，2

-b

)；
當2

2

-3≤b＜0時，a的取值范圍是∅．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．