Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C對應邊分別是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．
（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面積；
（2）求AB邊上的中線長的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，利用正弦定理化簡得：a2+b2﹣c2=ab，

∴cosC= = = ，即C= ，

∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，

∴sinBcosA=2sinAcosA，

當cosA=0，即A= ，此時S△ABC= ；

當cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，此時此時S△ABC= ；

（2）∵ = ，

∴|CD|2= = ，

∵cosC= ，c=2，

∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4，

∴|CD|2= = ＞1，且|CD|2= ≤3，

則|CD|的范圍為（1， ]．

【解析】（1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用余弦定理表示出cosC，將得出關系式代入求出cosC的值，確定出C的度數(shù)，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A化簡后，根據(jù)cosA為0與cosA不為0兩種情況，分別求出三角形ABC面積即可；（2）根據(jù)CD為AB邊上的中線，得到 = ，兩邊平方并利用平面向量的數(shù)量積運算法則變形得到關系式，利用余弦定理列出關系式，將cosC與c的值代入得到關系式，代入計算即可確定出|CD|的范圍．
【考點精析】關于本題考查的正弦定理的定義和余弦定理的定義，需要了解正弦定理:；余弦定理:;;才能得出正確答案．