當(dāng)0＜x＜
π
2
，時(shí) 函數(shù)f（x）=
1+cos2x+32sin2x
sin2x
的最小值為
8
8
．
分析：根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得f（x）=
1
tanx
+16tanx．然后由tanx＞0，運(yùn)用基本不等式可得
1
tanx
+16tanx≥8，由此即可得到當(dāng)且僅當(dāng)tanx=
1
4
時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為8．
解答：解：∵1+cos2x=2cos2x，sin2x=2sinxcosx
∴f（x）=
1+cos2x+32sin2x
sin2x
=
2cos2x+32sin2x
2sinxcosx
=
1
tanx
+16tanx
∵0＜x＜
π
2
，
∴tanx＞0，可得
1
tanx
+16tanx≥2
1
tanx
•16tanx
=8
當(dāng)且僅當(dāng)tanx=
1
4
時(shí)，等號(hào)成立
因此，函數(shù)f（x）=
1+cos2x+32sin2x
sin2x
的最小值為8
故答案為：8
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)式，求當(dāng)0＜x＜
π
2
時(shí)函數(shù)的最小值，著重考查了二倍角三角函數(shù)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•遼寧）設(shè)f（x）=ln（x+1）+
x+1
+ax+b（a，b∈R，a，b為常數(shù)），曲線y=f（x）與直線y=
3
2
x在（0，0）點(diǎn)相切．
（I）求a，b的值；
（II）證明：當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＜
9x
x+6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系下，已知A（2，0），B（0，2），C（cos2x，sin2x），f(x)=
AB
•
AC
．
（1）求f（x）的表達(dá)式和最小正周期；
（2）當(dāng)0＜x＜
π
2
時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）滿足條件：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥2x；且當(dāng)0＜x＜2時(shí)，總有f(x)≤
12
(x+1)2成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（-1）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f(x)=
1
2
x2+x-2lnx，設(shè)a=f(
6
5
)，b=f(
1
3
)，c=f(-
5
2
)，
則a，b，c的大小關(guān)系是
a＜c＜b
a＜c＜b
（用“＜”連接）

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