Question

有一學生對函數(shù)f（x）=xcosx進行了研究，得到如下五條結論：①函數(shù)f（x）在（一π，0）上單調遞增，在（0，π）上單調遞減；
②存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立；
③函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心是(

π

2

，0)；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離相等；
⑤函數(shù)y=f（x）的圖象與直線．y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離相等；其中正確結論的序號是

②⑤

．（寫出所有你認為正確的結論的序號）

Answer 1

分析：研究函數(shù)f（x）得單調性可知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，結合奇函數(shù)的對稱區(qū)間上的單調性可判斷①；根據(jù)y=cosx是有界函數(shù)可判斷②；根據(jù)函數(shù)基本性質：對稱性的應用可判斷③；令f（x）=xcosx=0，可求方程的解，從而可得函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離不相等，由此能判斷④；令f（x）=xcosx=x，可求方程的解，從而可得函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩公共點間的距離相等，由此能判斷⑤．

解答：解：①因為f（x）=xcosx
所以，f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-f（x）
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，在對稱的區(qū)間上單調性相同，故①錯誤；
②因為|cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故②正確；
③因為f（

1

2

π+x）+f（

1

2

π-x）=-（π+2x）sinx+（π-2x）sinx=-4xsinx≠0，
所以點（

1

2

π，0）不是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心，故③錯誤；
④令f（x）=xcosx=0，∴x=0或cosx=0，∴x=0或x=kπ+

π

2

，（k∈Z），
故函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，
且任意相鄰兩公共點間的距離不相等，故④不成立；
⑤令f（x）=xcosx=x，∴cosx=1，∴x=0或x=kπ，（k∈Z），
故函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，
且任意相鄰兩公共點間的距離相等，故⑤成立．
故答案為：②⑤．

點評：本題主要考查函數(shù)單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系以及函數(shù)的基本性質--對稱性的應用．屬中檔題．