Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)，若f′（x）為偶函數(shù)且f（x）在x=2處取得極值d-16
（I）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若f（x）有極大值20，求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=3ax²+2bx+c，

f′(2)=0 f(2)=d-16

即可求解a=1，b=0，c=-12，
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性得出f（x）=x³-12x+d，在x=-2處取得極大值，在x=2處取得極小值，再求出d，即可判斷最值，求出來(lái)．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵f′（x）為偶函數(shù)，
∴b=0，
∵f（x）在x=2處取得極值d-16，
∴

f′(2)=0 f(2)=d-16

∴

12a+c=0 8a+2c+d=d-2

解得：

a=1 c=-12

，
∴a=1，b=0，c=-12，
（Ⅱ）f（x）=x³-12x+d，
f′（x）=3x²-12，
∵f′（x）=3x²-12=0，x=2或x=-2，
∴當(dāng)x∈（2，+∞）（-∞，-2）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）=x³-12x+d，在x=-2處取得極大值，在x=2處取得極小值，
∴f（-2）=16+d=20，d=4，
f（-3）=13，f（2）=-12，
∴f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最小值為-12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性，閉區(qū)間上的最大值，最小值的應(yīng)用，屬于難題，注意確定準(zhǔn)極值點(diǎn)，最值點(diǎn)．