已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，其右焦點F2與拋物線的焦點重合，且橢圓短軸的兩個端點與F2構(gòu)成正三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的中心作一條直線與其相交于P，Q兩點，當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時，求的值．
【答案】分析：（1）拋物線的焦點坐標為，故，由短軸的兩個端點與F2構(gòu)成正三角形，知a=2b，由此能夠?qū)С鰴E圓的方程．
（2）設(shè)P點坐標為（x，y），由橢圓的對稱性知，=，當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時，P，Q兩點分別位于短軸兩個端點，由對稱性能夠?qū)С?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103100332352860489/SYS201311031003323528604017_DA/4.png">的值．
解答：解：（1）由題，拋物線的焦點坐標為，故…（2分）
又因為短軸的兩個端點與F2構(gòu)成正三角形，所以a=2b，又a2=b2+c2得a=2，b=1
所以橢圓的方程為…（7分）
（2）設(shè)P點坐標為（x，y），由橢圓的對稱性知，=
當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時，P，Q兩點分別位于短軸兩個端點，
由對稱性不妨設(shè)P（0，1）…（10分）
又則
所以…（16分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為
1
2
且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．M為橢圓上的動點，以M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為，其右準線上上存在點（點在 軸上方），使為等腰三角形．

⑴求離心率的范圍；

    ⑵若橢圓上的點到兩焦點的距離之和為，求的內(nèi)切圓的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期假期檢測考試理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，， 點是橢圓的一個頂點，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點（）．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年福建省三明市高三上學(xué)期三校聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）     已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，其中

F2也是拋物線的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且  

（I）求橢圓C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C1上，頂點B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年云南省德宏州高三高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，右準線方程為．

（I）求橢圓的標準方程；

（II）過點的直線與該橢圓交于M、N兩點，且，求直線的方程．

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案