Question

【題目】數列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0.

(1)求數列的通項公式；

(2)設Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.

Answer 1

【答案】（1）an＝10－2n；（2）.

【解析】試題分析：（1）首先判斷數列{an}為等差數列，由a1=8，a4=2求出公差，代入通項公式即得．
（2）首先判斷哪幾項為非負數，哪些是負數，從而得出當n>5時，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-（a6+a7+…+an）求出結果；當n≤5時，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an當，再利用等差數列的前n項和公式求出答案．

試題解析：

(1)an＋2－2an＋1＋an＝0，

所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，

所以{an＋1－an}為常數列，

所以{an}是以a1為首項的等差數列.

設an＝a1＋(n－1)d，

則a4＝a1＋3d，

所以d＝＝－2，

所以an＝10－2n.

(2)因為an＝10－2n，

令an＝0，得n＝5.

當n＞5時，an＜0；

當n＝5時，an＝0；

當n＜5時，an＞0.

令Tn＝a1＋a2＋…＋an，則Tn＝－n2＋9n.

所以當n＞5時，

Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|

＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)

＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝n2－9n＋40，

當n≤5時，

Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|

＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.

所以