Question

定義在R上奇函數f（x）滿足：當x∈（-∞，0）時，不等式f（x）+xf′（x）＜0，若a=20.2f(20.2)，b=ln2f(ln2)，c=log2

1

4

f(log2

1

4

)，則a，b，c由小到大關系式為

 

．

Answer 1

分析：令g（x）=xf（x），根據f（x）是奇函數得g（x）是偶函數，由x∈（-∞，0）時，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，得函數g（x）在x∈（-∞，0）上的單調性，從而得g（x）在（0，+∞）上的單調性，再由-log₂

1

4

=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0，得a，b，c的大小．

解答：解：∵f（x）是奇函數，∴xf（x）是偶函數，
設g（x）=xf（x），
當x∈（-∞，0）時，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函數g（x）在x∈（-∞，0）上單調遞減，
根據偶函數的性質可知函數g（x）在x∈（0，+∞）上單調遞增，
∵-log₂

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4

=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0，
∴g（-log₂

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）＞g（2^0.2）＞g（ln2）；
又g（-log₂

1

4

）=g（log₂

1

4

），
即（log₂

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）•f（log₂

1

4

）＞（2^0.2）•f（2^0.2）＞（ln2）•f（ln2），
∴c＞a＞b．
故答案為：c＞a＞b．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，函數單調性的性質以及不等關系與不等式．對于利用導數研究函數的單調性，注意導數的正負對應著函數的單調性．利用導數研究函數問題時，經常會運用分類討論的數學思想方法．解題的關鍵是根據已知條件合理的構造新函數，利用新函數的單調性比較函數值的大�。畬儆谥袡n題．