Question

【題目】已知函數(shù)（且）．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2），關于的方程有唯一解，求的值．

Answer 1

【答案】（1）當為奇數(shù)時，函數(shù)在為增函數(shù)，當為偶數(shù)時，函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)

（2）

【解析】

（1）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）利用，將方程化簡，得到函數(shù)，將方程問題轉化為函數(shù)零點問題，再結合導數(shù)研究即可得解.

解：（1）因為函數(shù)，

所以，（且），

所以，（且），

當為奇數(shù)時，，即函數(shù)在為增函數(shù)，

當為偶數(shù)時，，

所以當時，，當時，，

即函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)；

（2）當，，

設，

則關于的方程有唯一解等價于函數(shù)只有1個零點，

又，

令，

則，即，①

當時，，當時，，

即函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

則，

由題意有，即，②

②①得：，

設，則函數(shù)為增函數(shù)，且，

即，

故.