Question

18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）=a．
（I）求A；
（II）若△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，且c²+abcosC+a²=4，求a．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理化簡已知等式可得2cosAsinA=sinA，結(jié)合sinA≠0，可求cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），可求A的值．
（II）由△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求出bc，利用c²+abcosC+a²=4，得出3a²+b²+c²=8，結(jié)合余弦定理求a．

解答 解：（I）由正弦定理可知，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，
即2cosAsinA=sinA，
因為A∈（0，π），
所以sinA≠0，
所以2cosA=1，即cosA=$\frac{1}{2}$
又A∈（0，π），
所以A=$\frac{π}{3}$；
（II）∵△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}bc×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，∴bc=1
∵c²+abcosC+a²=4，∴3a²+b²+c²=8，
∵a²=b²+c²-bc
∴4a²=7，∴a=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．