11.橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,離心率e=$\frac{1}{2}$,P是橢圓上的一點(diǎn),已知△PF1F2內(nèi)切圓半徑為1,內(nèi)心為I,且S${\;}_{△PI{F}_{1}}$+S${\;}_{△PI{F}_{2}}$=2.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過橢圓的左焦點(diǎn)F1做兩條互相垂直的弦AB,CD,求|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{CD}$|的最小值.

分析 (1)利用S${\;}_{△PI{F}_{1}}$+S${\;}_{△PI{F}_{2}}$=2.求出a=2,利用離心率求出c,b即可頂點(diǎn)橢圓E的方程.
(2)①設(shè)直線AB的方程為:x=my-1(m≠0),直線CD的方程為x=-$\frac{1}{m}y-1$,直線AB與橢圓方程聯(lián)立可得:
(3m2+4)y2-6my-9=0,求出弦長(zhǎng),|AB|,|CD|,化簡(jiǎn)和的表達(dá)式,利用函數(shù)的最值求解即可.

解答 解:(1)所求橢圓方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)
因?yàn)椤鱌F1F2內(nèi)切圓半徑為1,且S${\;}_{△PI{F}_{1}}$+S${\;}_{△PI{F}_{2}}$=2.S${\;}_{△PI{F}_{1}}$+S${\;}_{△PI{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF1|•r+$\frac{1}{2}$|PF2|•r=$\frac{1}{2}×2a×1$=2,
∴a=2,又∵$e=\frac{1}{2}$,∴c=1,b=$\sqrt{3}$,
橢圓E的方程:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$.

(2)①設(shè)直線AB的方程為:x=my-1(m≠0),直線CD的方程為x=-$\frac{1}{m}y-1$,
直線AB與橢圓方程聯(lián)立可得:
(3m2+4)y2-6my-9=0,
解得弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}•\frac{\sqrt{36{m}^{2}+36(3{m}^{2}+4)}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{12{m}^{2}+1}{3{m}^{2}+4}$             (6分)
同理可得弦長(zhǎng)$|{CD}|=\frac{{12\frac{1}{m^2}+1}}{{3\frac{1}{m^2}+4}}$(7分)
所以|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{CD}$|=$\frac{{12{m^2}+1}}{{3{m^2}+4}}$+$\frac{{12\frac{1}{m^2}+1}}{{3\frac{1}{m^2}+4}}$=$\frac{12}{{3+\frac{1}{{{m^2}+1}}}}+\frac{12}{{4-\frac{1}{{{m^2}+1}}}}$
設(shè)$t=\frac{1}{{{m^2}+1}}∈(0,1)$
|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{CD}$|=$\frac{12}{3+t}+\frac{12}{4-t}$=$\frac{84}{-{t}^{2}+t+12}$,
當(dāng)$t=\frac{1}{2},即m=±1時(shí),|{AB}|+|{CD}|的最小值為\frac{48}{7}$(10分)
②當(dāng)m=0時(shí),|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{CD}$|=7..(11分)
綜上:$|{AB}|+|{CD}|的最小值為\frac{48}{7}$.(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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1.已知命題P:直線2x-y=0與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1(m>0)沒有公共點(diǎn),命題q:直線x+ny-2n=0與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{m^2}=1({m>0})$恒有公共點(diǎn),若p∨q為真命題,p∧q為假命題,求m的取值范圍.

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2.若命題“存在x∈R,x2-2x+2=m”為假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<1.

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19.設(shè)$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$為單位向量,$\overrightarrow a,\overrightarrow b$的夾角為60°,則$(\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c)•\overrightarrow c$的最大值為1+$\sqrt{3}$.

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6.下面說法不正確的選項(xiàng)(  )
A.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是函數(shù)的定義域
B.函數(shù)的多個(gè)單調(diào)增區(qū)間的并集也是其單調(diào)增區(qū)間
C.具有奇偶性的函數(shù)的定義域定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象一定是奇函數(shù)的圖象

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16.用系統(tǒng)抽樣法從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本,將160名學(xué)生從1~160編號(hào),按編號(hào)順序平均分成20組(1~8號(hào),9~16號(hào),…,153~160號(hào)).若假設(shè)第1組抽出的號(hào)碼為3,則第5組中用抽簽方法確定的號(hào)碼是35.

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3.已知不等式ax2+bx-1<0的解集為{x|-1<x<2}.
(1)計(jì)算a、b的值;
(2)求解不等式x2-ax+b>0的解集.

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20.已知$\overrightarrow{a}$=(x,2),$\overrightarrow$=(-2,1),$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$,則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=(  )
A.$\sqrt{5}$B.$2\sqrt{5}$C.$\sqrt{10}$D.10

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1.對(duì)于函數(shù)$f(x)={log_2}\frac{1+x}{1-x}$,下列說法正確的是( 。
A.f(x)是奇函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是非奇非偶函數(shù)D.f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

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同步練習(xí)冊(cè)答案