Question

（1）若不等式（a²-1）x²+2（a-1）x+4≥0對任意實數x都成立，求a的取值范圍；
（2）若不等式x+2

2xy

≤a（x+y）對一切正數x、y恒成立，求正數a的最小值；
（3）若-3＜x＜1時，不等式（1-a）x²-4x+6＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）分二次項系數為0和不為0討論，當二次項系數不等于0時由二次項系數大于0且判別式小于等于0得答案；
（2）x+2

2xy

≤a（x+y）對一切正數x、y恒成立，等價于a≥

x+2 2xy

x+y

對一切正數x、y恒成立，構造函數f（x，y）=

x+2 2xy

x+y

=

1+2 2 • y x

1+ y x

，x＞0，y＞0，換元后利用導數得到單調性，進一步求得最值；
（3）當x=0時，不等式（1-a）x²-4x+6＞0顯然成立，當x≠0時，不等式（1-a）x²-4x+6＞0可化為
a＜

6-4x

x2

+1，換元后配方求解a的范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，原不等式對任意實數x都成立，
當a=-1時，原不等式化為-4x+4≥0，不滿足題意，
當a≠±1時，由

a2-1＞0 [2(a-1)]2-16(a2-1)≤0

，解得a≥1或a≤-

5

3

．
綜上，a∈（-∞，-

5

3

]∪[1，+∞）；
（2）∵x+2

2xy

≤a（x+y）對一切正數x、y恒成立，
∴a≥

x+2 2xy

x+y

對一切正數x、y恒成立，
令f（x，y）=

x+2 2xy

x+y

=

1+2 2 • y x

1+ y x

，x＞0，y＞0．
令

y x

=t＞0，則g（t）=

1+2 2 t

1+t2

，g′（t）=

-2( 2 t-1)(t+ 2 )

(1+t2)2

．
令g′（t）=0，解得t=

2

2

，可知當t=

2

2

時，g（t）取得極大值即最大值，
g（t）=

1+2 2 × 2 2

1+( 2 2 )2

=2．
∴a≥2．即a的最小值為2；
（3）當x=0時，不等式（1-a）x²-4x+6＞0顯然成立，
當x≠0時，不等式（1-a）x²-4x+6＞0可化為，
a＜

6-4x

x2

+1，
即a＜

6

x2

-

4

x

+1=6(

1

x

-

1

3

)2+

1

3

，
∵-3＜x＜1且x≠0，
∴

1

x

＜-

1

3

或

1

x

＞1，
令t=

1

x

，則t＜-

1

3

或t＞1，且a＜6(t-

1

3

)2+

1

3

，
令f（t）=6(t-

1

3

)2+

1

3

，
則根據二次函數性質可知，
f（t）在（-∞，-

1

3

）上遞減，在（1，+，∞）上遞增，且f（-

1

3

）=f（1）=3，
∴f（t）＞3，
∵當-3＜x＜1時，不等式（1-a）x²-4x+6＞0恒成立，
∴a≤3．
∴a的取值范圍是（-∞，3]．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了利用導數求函數的最值，是壓軸題．