求由直線(xiàn)x＝1，x＝2和y＝0及曲線(xiàn)y＝x3圍成的圖形的面積．

答案：
解析：

　　解：(1)分割

　　如圖，把曲邊梯形ABCD分割成n個(gè)小曲邊梯形，用分點(diǎn)把區(qū)間[1，2]等分成n個(gè)小區(qū)間：[1，]，[]，…，[]，…，[]，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δx＝，過(guò)各分點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，把曲邊梯形ABCD分割成n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn．

　　(2)近似代替取各小區(qū)間的左端點(diǎn)ξi，用以點(diǎn)ξi的縱坐標(biāo)ξi3為一邊，以小區(qū)間長(zhǎng)Δx＝為其鄰邊的小矩形面積近似代替第i個(gè)小曲邊梯形面積，可以近似地表示為

　　ΔSi≈ξi3·Δx＝(i＝1，2，3，…，n)．

　　(3)求和

　　因?yàn)槊恳粋€(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個(gè)小矩形面積的和就是曲邊梯形ABCD面積S的近似值，即

　　①

　　(4)求極限

　　當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目愈多，即Δx愈小時(shí)，和式①的值就愈接近曲邊梯形ABCD的面積S．因此，n→∞即Δx→0時(shí)，和式①的極限就是所求的曲邊梯形ABCD的面積．

　　∵

　　

　　∴


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