Question

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象上一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(

π

12

，3)，與之相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為(

7π

12

，-1)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求導(dǎo)函數(shù)f'（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大、最小值．

Answer 1

分析：（1）先由最高點(diǎn)、最低點(diǎn)求出函數(shù)的周期，進(jìn)而求出ω，再利用函數(shù)的最大值、最小值列方程組解得A、B，最后代入特殊點(diǎn)求φ，則求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）首先利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求f（x）的最值．

解答：解：（1）依題意，

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，即T=π，故ω=

2π

T

=2．
由

A+B=3 -A+B=-1

，解得

A=2 B=1

．
把(

π

12

，3)代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，得sin(

π

6

+φ)=1，
又|φ|＜

π

2

，故φ=

π

3

．
所以，f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1．
（2）f′(x)=4cos(2x+

π

3

)．
由x∈[0，

π

2

]，得2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，則cos(2x+

π

3

)∈[-1，

1

2

]，
所以f′(x)=4cos(2x+

π

3

)∈[-4，2]，
故f'（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為2，最小值為-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，同時(shí)考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和三角復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)等知識(shí)．