Question

已知函數(shù)f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+

(a+b+c)2

3

（a，b，c為實(shí)數(shù)）．
（1）求f（x）的最小值m（用a，b，c表示）
（2）若a+b-3c=9，求（1）中m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=3x²-（2a+2b+2c）x+a²+b²+c²+

(a+b+c)2

3

配方得：3（x-

a+b+c

3

）²+a²+b²+c²，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得f（x）的最小值；
（2）先由柯西不等式得：（a²+b²+c²）[1²+1²+（-3）²]≥（a+b-3c）²，結(jié)合題中條件：“a+b-3c=9”，即可求得m的最小值．

解答：解：（1）f（x）=3x²-（2a+2b+2c）x+a²+b²+c²+

(a+b+c)2

3

=3（x-

a+b+c

3

）²+a²+b²+c²
故當(dāng)x=

a+b+c

3

時(shí)，f（x）的最小值m=a²+b²+c²
（2）由柯西不等式得：（a²+b²+c²）[1²+1²+（-3）²]≥（a+b-3c）²
即11m≥81
∴m的最小值為：

81

11

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

9

11

，c=-

27

11

時(shí)，取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用及函數(shù)的最值及其幾何意義，解答關(guān)鍵是靈活運(yùn)用柯西不等式