Question

已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線3x+y=0平行．
（1）求函數(shù)f（x）在[-4，0]的值域；
（2）若f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：由已知條件得f'（x）=3mx²+2nx，
由f'（-1）=3，∴3m-2n=-3．
又f（-1）=2，∴-m+n=2，
∴m=1，n=3
∴f（x）=x³+3x²，∴f'（x）=3x²+6x．
（1）令f'（x）=3x²+6x=0解得x=0或x=-2
當x∈[-4，-2]時，f'（x）＞0，當x∈[-2，0]時，f'（x）＜0
∴f（x）_max=f（-2）=4，f（-4）=-64+48=-16，f（0）=0
∴函數(shù)f（x）在[-4，0]的值域為[-16，4]
（2）令f'（x）＜0，即x²+2x＜0，
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-2，0）．
∵f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，
則[t，t+1]?[-2，0]
∴實數(shù)t的取值范圍是[-2，-1]．
分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導，又根據(jù)f'（-1）=-3，f（-1）=2可得到關于m，n的值，代入函數(shù)f（x）可得f'（x），然后研究函數(shù)在[-4，0]上的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的值域；
（2）根據(jù)（1）求f'（x）＜0時x的取值區(qū)間，即為減區(qū)間，[t，t+1]為減區(qū)間的子集，從而解決問題．
點評：本題主要考查通過求函數(shù)的導數(shù)來求函數(shù)增減區(qū)間的問題、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．