Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+alnx的定義域是D，關(guān)于函數(shù)f（x）給出下列命題：
①對于任意a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）是D上的減函數(shù)；
②對于任意a∈（-∞，0），函數(shù)f（x）存在最小值；
③對于任意a∈（0，+∞），使得對于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（-∞，0），使得函數(shù)f（x）有兩個零點．
其中正確命題的序號是________．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

②④
分析：先求導數(shù)，若為減函數(shù)則導數(shù)恒小于零；在開區(qū)間上，若有最小值則有唯一的極小值，若有零點則對應方程有根．
解答：解：由對數(shù)函數(shù)知：函數(shù)的定義域為：（0，+∞），f′（x）=e^x+
①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=e^x+≥0，是增函數(shù)．所以①不正確，
②∵a∈（-∞，0），∴存在x有f′（x）=e^x+=0，可以判斷函數(shù)有最小值，②正確．
③畫出函數(shù)y=e^x，y=alnx的圖象，如圖：顯然不正確．
④令函數(shù)y=e^x是增函數(shù)，y=alnx是減函數(shù)，所以存在a∈（-∞，0），f（x）=e^x+alnx=0有兩個根，正確．
故答案為：②④
點評：本題主要考查導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題．