Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在定義域上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)實(shí)數(shù)分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，進(jìn)而可求最大值，由此可求出實(shí)數(shù)的值；

（2）由已知整理可得，對(duì)任意的恒成立，結(jié)合，，可知，故只需對(duì)任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值的取值范圍，由此可求得滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值．

（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

此時(shí)，函數(shù)在定義域上無(wú)最大值；

當(dāng)時(shí)，令，得，

由，得，由，得，

此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

所以函數(shù)，

即為所求；

（2）由，因?yàn)?/span>對(duì)任意的恒成立，

即，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，

，，，

只需對(duì)任意的恒成立即可．

構(gòu)造函數(shù)，，

，，且單調(diào)遞增，

，，一定存在唯一的，使得，

即，，

且當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

，

因此，的最小整數(shù)值為.