Question

類比平面直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想，并證明．

Answer 1

分析：由勾股定理是平面二維的線與線之間的關(guān)系，類比到三維空間可猜測：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²，作AE⊥CD連BE，則BE⊥CD，S_△BCD² =

1

4

CD2•BE²
=

1

4

CD2（AB²+AE²）=

1

4

（AC²+AD²）（AB²+AE²），再化簡即得結(jié)論．

解答：解：線的關(guān)系類比到面的關(guān)系，猜測：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．
理由如下：
如圖作AE⊥CD連BE，則BE⊥CD．
S_△BCD² =

1

4

CD2•BE² =

1

4

CD2（AB²+AE²）
=

1

4

（AC²+AD²）（AB²+AE²）
=

1

4

（AC²AB² +AD²AB² +AC²AE²+AD²AE² ）
=

1

4

（AC²AB² +AD²AB²+CD²AE² ）
=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²

點(diǎn)評(píng)：本題考查類比推理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．其中由二維到三維的類比推理要注意點(diǎn)的性質(zhì)往往推廣為線的性質(zhì)，線的性質(zhì)往往推廣為面的性質(zhì)．