Question

如圖，棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是B₁C₁、C₁D₁的中點，
（1）求證：E、F、B、D四點共面；
（2）求四邊形EFDB的面積．

Answer 1

分析：（1）要證明E、F、B、D四點共面，我們觀察圖形后，發(fā)現(xiàn)EF與BD可能平行，連接B₁D₁后，利用中位線及平行四邊形的性質，易得到結論．
（2）由（1）的結論，四邊形EFDB為一個梯形，根據已知中正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，E、F分別是B₁C₁、C₁D₁的中點，我們求出梯形的上底、下底及高，代入梯形面積公式即可得到答案．

解答：（1）證明：如答圖所示，連接B₁D₁，
在△C₁B₁D₁中，C₁E=EB₁，C₁F=FD₁，
∴EF∥B₁D₁，且EF=

1

2

B₁D₁，
又A₁A

∥

.

B₁B，A₁A

∥

.

D₁D，∴B₁B

∥

.

D₁D，
∴四邊形BB₁D₁D是平行四邊形．
∴B₁D₁∥BD，EF∥BD，
∴E、F、D、B四點共面
（2）由AB=a，知BD=B₁D₁=

2

a，EF=

2

2

a，
DF=BE=

B B 2 1 +B1E2

=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a，
過F作FH⊥DB于H，則DH=

DB-EF

2

=

2

4

a
∴FH=

DF2-DH2

=

5 4 a2- 2 16 a2

=

18 16 a2

=

3 2

4

a
四邊形的面積為SEFBD=

1

2

(EF+BD)×FH=

1

2

(

2

2

a+

2

a)×

3 2

4

a=

1

2

×

3 2

2

×

3 2

4

a2=

9

8

a2

點評：本題考查的知識點是空間中直線與直線之間的位置關系，棱柱的結構特征，其中根據棱柱的結構特征，確定EF∥CD，進而得到結論是解答本題的關鍵．