Question

直線l過原點交橢圓16x²+25y²=400于A、B兩點，則|AB|的最大值為（　�。�

• A、8
• B、5
• C、4
• D、10

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：可以判斷當l不存在斜率時，|AB|是短軸長，不最大．當l存在斜率時，設斜率為k，A，B點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），直線l方程為y=kx，聯立橢圓的方程可以求出：x₁+x₂，x₁x₂，y₁+y₂，y₁y₂，根據兩點間距離公式用A，B坐標表示出|AB|，通過變形，整理可得：|AB|=

16•4+ 4•16•9 16+25k2

，顯然k=0時，|AB|最大，這樣便可求得|AB|的最大值．

解答： 解：由橢圓的方程可知，該橢圓的焦點在x軸，當直線l不存在斜率時，直線l過原點與x軸垂直，此時AB是橢圓的短軸，顯然這時的|AB|不是最大值；
當直線l存在斜率時，設斜率為k，則l的方程為：y=kx，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則由：

y=kx 16x2+25y2=400

得，（16+25k²）x²-400=0；
∴x1+x2=0，x1x2=

-400

16+25k2

，y1+y2=0，y1•y2=

-400k2

16+25k2

；
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1+y2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2+(y1+y2)2-4y1y2

=

4•400 16+25k2 + 4•400k2 16+25k2

=

4•400(1+k2) 16+25k2

=

16•4+ 4•16•9 16+25k2

；
∴k=0時，|AB|最大為10．
故選：D．

點評：考查直線方程，橢圓的方程，韋達定理，以及兩點間距離公式．