Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中E為AB的中點．
（1）求直線A₁C₁與平面A₁B₁CD所成角大��；
（2）試確定直線BC₁與平面EB₁D的位置關系，并證明你的結論；
（3）證明：平面EB₁D⊥平面B₁CD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方體的結構特征，我們可得BC₁⊥平面A₁C，進而∠C₁A₁H是直線A₁C₁與平面A₁B₁CD所成角，解三角形C₁A₁H即可得到直線A₁C₁與平面A₁B₁CD所成角大��；
（2）取DB₁的中點O，由三角形中位線定理及正方體的幾何特征，可得四邊形OHBE是平行四邊形，進而BH∥EO，由線面平行的判定定理可得EO∥平面EB₁D，即BC₁∥平面EB₁D
（3）結合（1），（2）中BC₁⊥平面A₁C，BH∥EO，由線面垂直的第二判定定理可得EO⊥平面B₁CD，再由面面垂直的判定定理可得平面EB₁D⊥平面B₁CD．

解答：解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
A₁B₁⊥平面BC₁
∴A₁B₁⊥BC₁
又∵B₁C⊥BC₁
∴BC₁⊥平面A₁C
設B₁C∩BC₁=H，
則∠C₁A₁H是直線A₁C₁與平面A₁B₁CD所成角
又∵A₁C₁=

2

a，C1H=

2

2

a
∴sin∠C₁A₁H=

1

2

∴∠C₁A₁H=30°
（2）直線BC₁∥平面EB₁D，理由如下：
取DB₁的中點O，則OH∥DC∥AB，OH=EB
∴四邊形OHBE是平行四邊形
∴BH∥EO
∴EO∥平面EB₁D，
∴BC₁∥平面EB₁D
證明：（3）∵BC₁⊥平面A₁C，BH∥EO
∴EO⊥平面B₁CD
∵EO?平面EB₁D
平面EB₁D⊥平面B₁CD

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握正方體的幾何特征，為證明線面垂直及線面平行準備條件，是解答本題的關鍵．