Question

已知函數f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)時，則下列結論不正確是

 

．
（1）?x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）?m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有兩個不等實數根；
（3）?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）?k∈（1，+∞），使得函數g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點．

Answer 1

分析：（1）中，由函數解析式，結合函數奇偶性的性質，易得函數f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)為奇函數，根據函數奇偶性的定義可判斷其真假；
（2）中，由函數的解析式我們易得函數f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)在R上單調遞增且值域為（-1，1），則函數y=|f（x）|的值為（0，1），由此可判斷（2）的正誤；
（3）中由（2）中函數單調性的結論，易判斷（3）的對錯；
（4）中，當k∈（1，+∞），函數y=f（x）的圖象與函數y=kx的圖象僅有一個交點，由此易得（4）的真假．

解答：解：（1）、∵函數f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)為奇函數
∴f（-x）+f（x）=0恒成立，故（1）正確；
（2）、∵函數f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)的在R上單調遞增，且值域為（-1，1）
∴函數y=|f（x）|在（-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增，且值域為[0，1）
∴?m∈（0，1），方程|f（x）|=m均有兩個不等實數根，故（2）正確；
（3）、∵函數f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)的在R上單調遞增，
∴x₁≠x₂?f（x₁）≠f（x₂），故（3）正確；
（4）、?k∈（1，+∞），函數y=f（x）的圖象與函數y=kx的圖象有且僅有一個交點
∴?k∈（1，+∞），函數g（x）=f（x）-kx有且只有一個零點
故（4）錯誤．
故答案：（4）

點評：本題考查的知識點是利用函數的性質，判斷命題的真假，其中根據函數的解析式，準確的分析函數的性質是解決問題的關鍵．