Question

17．已知點(diǎn)P是圓心為F₁的圓（x+1）²+y²=12上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F₂（1，0），若線段PF₂的垂直平分線與半徑PF₁相交于點(diǎn)M．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)F₂的直線l（l不與x軸重合）與M的軌跡交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△F₁AB的內(nèi)切圓半徑r的最大值，并求出此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義，求動點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)△F₁AB的內(nèi)切圓的半徑為R，表示出△F₁AB的周長與面積，設(shè)直線l的方程為x=ty+1，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，|MF₁|+|MF₂|=|MF₁|+|MP|=2$\sqrt{3}$＞2，
∴M的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，且a=$\sqrt{3}$，c=1，b=$\sqrt{2}$，
∴動點(diǎn)M的軌跡方程$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)△F₁AB的內(nèi)切圓的半徑為R，
因?yàn)椤鱂₁AB的周長為4a=8，△F₁AB的面積=4R，
因此，△F₁AB的面積最大，R就最大，△F₁AB的面積=|y₁-y₂|，
由題意知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=ty+1，
與橢圓方程聯(lián)立，消去x得（2t²+3）y²+4ty-4=0，
所以，y₁+y₂=-$\frac{4t}{2{t}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{4}{2{t}^{2}+3}$，
∴r=$\frac{2\sqrt{{t}^{2}+1}}{2{t}^{2}+3}$=$\frac{2}{2\sqrt{{t}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}}}$≤$\frac{2}{3}$，
∴t=0時，r的最大值為$\frac{2}{3}$，此時直線l的方程為x=1．

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，考查分析問題解決問題的能力．