Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)a_n=2ⁿb_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)榻o出了數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²，所以可用n≥2時(shí)，an=sn-sn-1來(lái)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入a_n=2ⁿb_n，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，當(dāng)n＞1時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，當(dāng)n=1時(shí)a₁=S₁=1
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）由an=2nbn=2n-1，得bn=

2n-1

2n

，Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，①2Tn=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，②
②-①，得Tn=1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，以及錯(cuò)位相減法求和．