Question

16．已知拋物線y²=8x，過點A（2，0）作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l，若l與拋物線交于B、C兩點，弦BC的中垂線交x軸于點P，則線段AP的長為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 先表示出直線方程，代入拋物線方程可得方程3x²-20x+12=0，利用韋達定理，可求弦BC的中點坐標，求出弦BC的中垂線的方程，可得P的坐標，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，直線l方程為：y=$\sqrt{3}$（x-2）
代入拋物線y²=8x整理得：3x²-12x+12=8x
∴3x²-20x+12=0
設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=$\frac{20}{3}$
∴弦BC的中點坐標為（$\frac{10}{3}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴弦BC的中垂線的方程為y-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{10}{3}$），
令y=0，可得x=$\frac{22}{3}$，
∴P（$\frac{22}{3}$，0），
∵A（2，0），
∴|AP|=$\frac{16}{3}$
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點評 本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達定理．