Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f_1}（x），x∈[{0，\frac{1}{2}}）\\{f_2}（x），x∈[{\frac{1}{2}，1}]\end{array}$，其中f₁（x）=-2（x-$\frac{1}{2}$）²+1，f₂（x）=-2x+2．
（1）在如圖直角坐標(biāo)系中畫出y=f（x）的圖象；
（2）寫出y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若x₀∈[0，$\frac{1}{2}}$），x₁=f（x₀），f（x₁）=x₀．求x₀的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)解析式可得函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)圖象寫出y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）根據(jù)分段函數(shù)，建立方程關(guān)系，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖所示：
（2）單調(diào)增區(qū)間$[{0，\frac{1}{2}}]$，
（3）若${x_0}∈[{0，\frac{1}{2}}）$，
則${x_1}=f（{x_0}）=-2{（{x_0}-\frac{1}{2}）^2}+1$．
此時$\frac{1}{2}≤{x_1}＜1$，
∴$f（{x_1}）=-2{x_1}+2=-2[{-2{{（{x_0}-\frac{1}{2}）}^2}+1}]+2=4{（{x_0}-\frac{1}{2}）^2}={x_0}$
整理得4x₀²-5x₀+1=0，
解得x₀=1（舍）或${x_0}=\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查了分段函數(shù)的函數(shù)解析式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是需要根據(jù)不同的x確定對應(yīng)的解析式．