Question

數(shù)列{a_n}(n∈N^﹡)中,a₁=0,當(dāng)3a_n<n²時(shí)，a_n+1=n²,當(dāng)3a_n>n²時(shí)，a_n+1=3a_n.求a₂，a₃，a₄，a₅,猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)a_n并證明你的結(jié)論.

Answer 1

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試題分析：先由遞推公式分別求出的值，猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
試題解析：當(dāng)時(shí)，，則，知，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033846934597.png" style="vertical-align:middle;" />，由數(shù)列定義知.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033846965653.png" style="vertical-align:middle;" />,由數(shù)列定義知.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033846996673.png" style="vertical-align:middle;" />,由定義知
4分
由此猜測(cè):當(dāng)n≥3時(shí)，                         6分
下面用數(shù)學(xué)歸納法去證明:當(dāng)n≥3時(shí)，3a_n>n².當(dāng)n=3時(shí)，由前面的討論知結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時(shí)，成立.則由數(shù)列定義知,從而.所以，即當(dāng)n=k+1(k≥3)時(shí)，成立. 故當(dāng)n≥3時(shí)，.而.因此.   11分
綜上所述，當(dāng)時(shí)，，，( n≥3)              13分