Question

已知橢圓C：的右焦點為F₁（1，0），離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及左頂點P的坐標；
（Ⅱ）設過點F₁的直線交橢圓C于A，B兩點，若△PAB的面積為，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的右焦點為F₁（1，0），離心率為，建立方程，結合b²=a²-c²，即可求得橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程代入橢圓方程，利用韋達定理面結合△PAB的面積為，即可求直線AB的方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知：c=1，，所以a=2，所以b²=a²-c²=3．
所以橢圓C的標準方程為，左頂點P的坐標是（-2，0）．…（4分）
（Ⅱ）根據題意可設直線AB的方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由可得：（3m²+4）y²+6my-9=0．
所以△=36m²+36（3m²+4）＞0，y₁+y₂=-，y₁y₂=-．…（7分）
所以△PAB的面積S==．…（10分）
因為△PAB的面積為，所以=．
令t=，則，解得t₁=（舍），t₂=2．
所以m=±．
所以直線AB的方程為x+y-1=0或x-y-1=0．…（13分）
點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，聯(lián)立方程，利用韋達定理是解題的關鍵．