Question

（本小題滿(mǎn)分13分）若圓過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線(xiàn)，、為曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿(mǎn)足.

（1）求曲線(xiàn)的方程；

（2）若，直線(xiàn)的斜率為，過(guò)、兩點(diǎn)的圓與拋物線(xiàn)在點(diǎn)處有共同的切線(xiàn)，求圓的方程；

（3）分別過(guò)、作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在直線(xiàn)上，求證：與均為定值.

Answer 1

解：（1）依題意,點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線(xiàn)的距離，所以點(diǎn)的軌跡為拋物線(xiàn)，曲線(xiàn)的方程為；       …………………………………………………………3分

（2）直線(xiàn)的方程是,即，

由得點(diǎn)、的坐標(biāo)是或，………………………………5分

當(dāng)、時(shí)，由得,，

 所以?huà)佄锞�(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為，

直線(xiàn)的方程為，即…………①

線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，中垂線(xiàn)方程為，即…………②

由①、②解得，       …………………………………………………………7分

于是，圓的方程為，

即  ， ………………………………………………………8分

當(dāng)、時(shí)，拋物線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為，此時(shí)切線(xiàn)與垂直，所求圓為以為直徑的圓，可求得圓為，  ……9分

（3）設(shè)，,，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，

即，同理可得，所以,，……10分

又=，所以直線(xiàn)的方程為，

即,亦即,所以，………………………………………11分

而,，所以

.               …………………………………13分