Question

3．已知函數(shù)f（x）=x（2lnx-ax）有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，1）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 f（x）=2xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=2lnx+2-2ax．令g（x）=lnx+1-ax，由于函數(shù)f（x）=x（2lnx-ax）有兩個極值點(diǎn)?g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實(shí)數(shù)根，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)a≤0時，直接驗(yàn)證；當(dāng)a＞0時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性可得：當(dāng)x=$\frac{1}{a}$時，函數(shù)g（x）取得極大值，故要使g（x）有兩個不同解，只需要g（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$＞0，解得即可．

解答 解：f（x）=2xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=2（lnx+1-ax），
令g（x）=lnx+1-ax，
∵函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)，則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實(shí)數(shù)根，
g′（x）=$\frac{1-ax}{x}$，
當(dāng)a≤0時，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，
因此g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上不可能有兩個實(shí)數(shù)根，應(yīng)舍去；
當(dāng)a＞0時，令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a}$，
令g′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{a}$，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
令g′（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{a}$，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{a}$時，函數(shù)g（x）取得極大值，
當(dāng)x趨近于0與x趨近于+∞時，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實(shí)數(shù)根，則g（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$＞0，解得0＜a＜1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1），
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力．